[作者：byeyear，首发于cnblogs.com，转载请注明。联系：east3@163.com]
回忆学校的美好时光，顺便复习一下学校学过的知识吧。
1. 三种行初等变换
倍加变换 （某一行的倍数加到另一行）
对换变换 （两行交换）
倍乘变换 （某一行所有元素乘以同一个非零数）
2. 行等价
一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。
行变换可逆。
3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则它们有相同的解集。
4. 简化行阶梯矩阵
a) 非零行的先导元素为0
b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素
一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。
5. 对应于主元列的变量称基本变量，其他变量称自由变量。
6. 向量的平行四边形法则
若R2中的向量u，v用平面上的点表示，则u+v对应于u，v，0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。
[思考：即使u，v不是R2而是R3甚至Rn中的向量，上述结论是否仍然成立？]
7. 向量方程
x1a1+x2a2+...+xnan=b
和增广矩阵如下的线性方程组
[a1 a2 ... an b]
和矩阵方程
Ax=b
有相同的解集。
8. 方程Ax=b有解的条件：b是A的各列的线性组合。
9. 设A为mxn矩阵，以下命题等价：
a) 对Rm中每个b，Ax=b有解
b) Rm中的每个b都是A的列的一个线性组合
c) A的各列生成Rm（Rm = Span{A各列}）
d) A在每一行都有一个主元位置（注意是A的每一行，*不*是A的增广矩阵的每一行）
10. 方程Ax=0有非平凡解的条件：至少有一个自由变量。
11. 如果非齐次方程有多个解，其解可表示为一个向量（这个向量也是非齐次方程的特解）加上相应的齐次方程的解。
或者说：非齐次方程解 ＝ 该方程特解 ＋ 对应的齐次方程的通解
12. 若一组向量v1，v2，...，vn组成的向量方程
x1v1+x2v2+...+xnvn = 0
仅有平凡解，则这些向量线性无关；否则这些向量线性相关。
同样，仅当矩阵方程Ax=0仅有平凡解，A的各列线性无关。
13. 单个的零向量线性相关，因为0x=0有非平凡解；同理，单个的非零向量线性无关。含有零向量的向量组必定线性相关。
14. 向量集线性相关，则其中至少一个向量是其他向量的线性组合；但该集合中也有可能存在不能表示为其他向量线性组合的向量。
15. 若向量组中的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组必定线性相关。
（直观上，向量越“多”，越容易“相关”。从阶梯矩阵角度，上面所述情况必有自由向量。）
16. 仅存在两个向量的向量集是否线性相关很好判断：看一个是否是另一个的倍数就可以了。
17. 矩阵A与向量x的积，就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合。下式中，A为矩阵，x为向量，xn为向量元素，an为矩阵列。
Ax ＝ x1a1+x2a2+...+xnan
18. 设u，v是R3中的线性无关向量，那么span{v}是过零点和v的直线，span{u,v}是过u，v，0的平面。
19. 矩阵乘法Ax=b的另一种理解是，将矩阵A作用于向量x，产生新向量b。解方程Ax=b就是求出Rn中所有经过A的“作用”后变为b的向量x。
20. 符号T:Rn->Rm说明T的定义域是Rn，余定义域是Rm。T(x)的集合是T的值域。
（mxn矩阵实现Rn->Rm）
21. 由Rn到Rm的每个线性变换都是矩阵变换，反之亦然（每个矩阵变换都是线性变换）。即对于线性变换Rn->Rm，存在唯一矩阵A使得T(x)=Ax（对Rn中一切x ）。
A可按下式求得：
A = [T(e1) T(e2) ... T(en)]
其中ej是单位矩阵In的第j列。A称为线性变换T的标准矩阵。
22. 若T的值域是整个余定义域，T是满射；若T是一对一的，T是单射。
23. 线性映射T是一对一的条件：Ax=0仅有平凡解。
解释：映射一对一 ==> 方程Ax=b至多一个解 ==> 方程Ax=b的解没有自由变量 ==> Ax=0仅有平凡解。
24. 若T为线性变换，A为T的标准矩阵，那么：
当且仅当A的列生成Rm时，T把Rn映上到Rm（即将Rn映射到Rm上，满射）；
当且仅当A的列线性无关时，T是一对一的。